DBGrid のセルの色や、文字列の色を変更するには、自分で Canvas に対して色をしていなければなりません。
文字の色を変更するには、Canvas の Font プロパティの Color プロパティを変更します。
Font プロパティのそのほかのプロパティも変更可能なので、太字などにも変更可能です。
また、セル全体の色を変更するには Canvas プロパティを変更した上でさらに塗りつぶしが必要です。
塗りつぶしには、Canvas の FillRect メソッドを使用します。同名の API も存在しますが、メソッドの方が楽でしょう
範囲は、パラメータで与えられた Rect を使用します。詳細はヘルプや VCL ソースコードを参照してみてください。

以下はDelphi付属の｢DBDEMOS｣にある「COUNTRY」データベースを、グリッドに表示した場合のサンプルです。
人口が2千万人を超える国ついては、人口が赤色で描画されます。

procedure TForm1.DBGrid1DrawColumnCell(Sender: TObject); 
const Rect: 
  TRect; DataCol: Integer; Column: TColumn; State: TGridDrawState); 
begin 
  if Table1.FieldByName('Population').AsInteger > 20000000 then
  begin
    TDBGrid(Sender).Canvas.Font.Color := clRed;
  end;
  TDBGrid(Sender).DefaultDrawColumnCell(Rect, DataCol, Column, State); 
end;